Com mesuraries la Terra?

Segurament, si a algú de vosaltres li demanen com mesuraria la Terra el primer que se'ns passa pel cap és pensar:

"Ja hi ha científics que tenen aparells que ho mesuraran. No sé ben bé quins aparells, però alguna cosa s'hauran inventat per mesurar la Terra... no?"

I ens quedem tan tranquils.

Però si viatgem cap al segle II a.C. i partim de la tecnologia d'aleshores, com ho faríeu? Ja no tenim l'excusa de la tecnologia, i de fet els mitjans aleshores eren molt inferiors als que pot tenir qualsevol de nosaltres avui en dia. Impossible??? No. Eratòstenes de Cirene (un home amb una biografia espectacular) ho va fer.

A diferència del que afortunadament cada vegada creu menys gent, durant l'època grega ja se sabia que la Terra era rodona, i Eratòstenes va idear un curiós mètode per poder mesurar el seu tamany. Tenint en compte que encara no s'havia inventat ni la unitat del metre (o la que utilitzi cada cultura) ni existia cap mena d'aparell que permitís fer una mesura amb una certa precisió... no us pica la curiositat saber com ho va fer?

SITUA'T SOBRE LA TERRA

Mitjans tècnics potser no en tenia, però informació a l'abast un munt. Va ser director de la Biblioteca d'Alexandria amb tot el que això suposa. I per tant, va tenir a l'abast la primera informació clau per poder dissenyar un mètode per mesurar el tamany de la Terra.

Allà, en un papir, va trobar que en una ciutat que avui s'anomena Asuan (Egipte), però que antigament es deia Siena, durant el dia del Solstici d'Estiu cap objecte de la ciutat projectava ombra. El sol queia al fons dels pous.

Si pensem en la informació que ens dóna això... podem deduir fent un esforç d'imaginació que el Sol i aquell punt de la Terra es troben en un mateix pla (assumint que la llum viatja en línia recta, ho podem veure més clar).
En aquest esquema (que no mereix la qualificació de dibuix) podem veure com la ciutat d'Asuan (en vermell) dibuixa un mateix pla amb els rajos de sol que arriben des del sol. Efectivament, en aquest punt no trobarem ni rastre d'ombra en cap objecte que hi hagi, ja que el sol caurà completament vertical i l'ombra el "projectarà" sota de l'objecte.

A part d'aquest fet, Eratòstenes es va servir dels coneixements que encara avui manegem de latitud i longitud (coordenades d'un lloc sobre la Terra), que ja havien estat introduits aleshores i de la suposició que els rajos provinents de la llum del sol arribaven a la Terra paral·lelament (aproximació molt correcta si tenim en compte que el sol és bastant més gran que la terra i que està situat a una distància considerable de la Terra, que avui en dia encara s'utilitza).

LA LLUM DEL PROBLEMA : L'OMBRA

La clau de tot plegat estava en fixar-se en que el dia del solstici d'estiu al migdia a Alexandria sí que els objectes projectaven ombra. Aquest fet el podem entendre si tornem a l'esquema de més amunt. Si suposem que Alexandria està situada en el punt verd comprovem com qualsevol objecte que sobresurti de la superfície terrestre en direcció perpendicular a aquesta (qualsevol estaca que clavem a Terra, per exemple) sí que projectarà ombra. Recordem que amb l'aproximació que estem seguint, el Sol envia els rajos seguint la recta que l'uneix amb la Terra.

Eratòstenes va mesurar l'angle que mersurava l'ombra de qualsevol objecte clavat al terra a la ciutat d'Alexandria (això ho podem fer resolent el triangle que queda format pel raig de sol, el pal i l'ombra).
Aquí tenim un esquema d'un punt de vista més proper a la Terra. El pal vermell segueix sent el que trobaríem a la ciutat d'Asuan i el verd a Alexandria.

Una vegada mesurat l'angle que projectava l'ombra, el gran mèrit i la genialitat d'Eratòstenes va ser la visió que va tenir de tot el conjunt. El que va imaginar més o menys ho veiem projectat en aquest esquema (molt més decent que la resta, per cert).

L'angle que feia l'ombra de l'objecte fixat a Terra era el mateix angle que separava a Asuan i Alexandria mesurat des del centre de la Terra. No és complicat de veure, si us ensenyo aquest dibuix geomètric que segur que més d'una vegada vau odiar a l'escola... :P
Els rajos de sol són les línies paral·leles i la línia roja és el radi de la Terra. Ha quedat prou clar, no? Va trobar que l'angle que separava les dues ciutats era de 1/50 de circumferència (el que avui en dia anomenem 7,2º).

AMB UNA SIMPLE REGLA DE TRES

I qualsevol persona amb unes nocions mínimes de trigonometria o geometria ara sí que ja és capaç de continuar el problema. Senzillament calia saber la longitud que serparava la línia que uneix Alexandria amb Siena. Aquí hi ha divisió d'opinions. Alguns diuen que Eratòstenes es va servir de les caravanes de comerciants que cobrien aquesta distància, tot i que altres diuen que aquesta és una dada que podria haver tret sense problemes de la biblioteca d'Alexandria.

El cas és que va estimar que la distància en qüestió era d'uns 5000 estadis. Hi ha discusions sobre quin patró va utilitzar, tot i que se suposa que va ser l'estadi egipci.

VOSALTRES MATEIXOS

I si sabeu fer regles de tres... sabreu quan mesurava la longitud d'arc de la circumferència d'aquesta Terra que Eratòstenes va suposar perfectament esfèrica.

Si una longitud de 5000 estadis equival a un angle de 7,2º,
una longitud x serà la que equivaldrà a un angle de 360º.

Doncs aquesta longitud que heu obtingut amb estadis, passada a la nostra mesura actual és d'uns 39.700km.

I això està bé o malament?

Doncs si tenim una terra esfèrica d'aquest tamany, té un diàmetre de 12.637 km. Tenint en compte que les últimes mesures fetes del radi de la Terra donen un diàmetre de 12.756,270 km i que aquestes van ser fetes fa més de 2000 anys, no està malament, no?